812 专业综合
硕士研究生招生考试大纲
高等代数(分值:85)
参考书:
《代数学基础》(上),张英伯,王恺顺,北京师范大学出版社;
《高等代数学》第三版,姚慕生,吴泉水,谢启鸿。
一、总体要求
1.掌握基本的代数运算方法,包括:行列式的计算,矩阵运算(乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量),线性方程组解的判定及求解,多项式运算(带余除法,辗转相除法).
2.掌握基本的代数分析技巧,包括:向量的线性相关和线性无关性,向量空间的基与维数,线性方程组解的结构,线性变换和矩阵的关系,方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型,多项式的整除性及因式分解.
3.掌握代数的基本几何背景,理解代数与几何的关系,包括:欧氏空间与酉空间,正交变换与正交矩阵, 酉变换与酉矩阵,对称变换与对称矩阵, 实对称矩阵的正交相似对角化,最小二乘解,对偶空间与双线性函数.
二、考试内容
第一部分 多项式
1.数域, 一元多项式的定义和基本运算;
2.多项式的带余除法,多项式整除性理论;
3.多项式的最大公因式,辗转相除法;
4.不可约多项式,多项式的唯一因式分解定理,多项式的重因式;
5.多项式函数与多项式的根;
6.代数基本定理,复数域和实数域上多项式;
7.有理数域和整数环上的多项式,Eisenstein判别法;
8.多元多项式的概念及字典排列法,对称多项式及其基本定理.
第二部分 行列式
1.排列、n阶行列式的定义;
2.n阶行列式的性质和基本计算;
3.代数余子式、行列式按一行(列)展开;
4.克莱姆法则;
5.Laplace定理.
第三部分 线性方程组
1.线性方程组求解的消元法;
2.矩阵的秩,用矩阵的初等变换求秩;
3.线性方程组可解的判别法;
4.两个多项式的结式和多项式的判别式.
第四部分 矩阵
1.矩阵的线性运算、乘法及转置;
2.矩阵可逆的判定条件及性质,用初等变换求可逆矩阵的逆;
3.矩阵乘积的行列式与秩;
4.矩阵的分块及其运算技巧.
第五部分 向量空间
1.向量空间的定义和例子;
2.向量组的线性相关和线性无关性,向量组的极大无关组;
3.向量空间的基与维数,过渡矩阵及坐标变换公式;
4.子空间、子空间的交与和;
5.向量空间的同构及其性质;
6.矩阵的行秩和列秩,齐次线性方程组的解空间与基础解系.
第六部分 线性变换
1.线性映射和线性变换的定义及例子;
2.线性变换的运算和矩阵的关系;
3.线性变换的不变子空间及其性质;
4.方阵的特征值和特征向量;
5.可以对角化的矩阵;
6.极小多项式与Cayley-Hamilton定理;
7.向量空间的准素分解,矩阵的Jordan标准形;
8.矩阵的有理标准形.
第七部分 欧氏空间和酉空间
1.向量的内积和欧氏空间的定义;
2.规范正交基,Schmidt正交化方法;
3.正交变换与正交矩阵;
4.对称变换与对称矩阵,实对称矩阵的正交相似对角化;
5.向量到子空间的距离,最小二乘解;
6.酉空间与酉变换.
第八部分 二次型
1.二次型与对称矩阵,矩阵的合同关系;
2.复数域上的二次型及其典范形;
3.实数域上的二次型,惯性定律;
4.正定二次型与正定矩阵,实对称矩阵正定的判定条件.
第九部分 双线性函数
1.线性函数与对偶空间;
2.双线性函数及其度量矩阵;
3.对称双线性函数,反对称双线性函数.